🧐 今こそ学ぶべき理由
線形計画法（LP）は、資源配分・生産計画・ロジスティクスなどビジネスの意思決定を支える必須ツールです。しかし現実のLPでは「実行可能基底がすぐ見つからない」ケースが多く、この壁を越える鍵が省エネ型2段階法です。従来の基本型2段階法よりも計算量を抑えつつ、人工問題（AP）の導入で厄介な初期基底探しをスマートに解決できるため、近年の講義や現場ではこちらが標準となりつつあります。
🧱 つまずきポイントと典型的な誤解
– 人工変数の意味が曖昧：y₁を「ただの補助」と見なすと、第2段階で削除し忘れます。
– 判定項（\bar{c}_j）の符号チェックを忘れがち：負の係数が残っているのに停止宣言 → 最適解誤認。
– 比率テストで“正”条件を無視：a_{ij}\le0 行を含めてしまい実行不能に。
– 目的関数行の置換を怠る：AP終了後に元のc係数へ戻さず、全計算をやり直す羽目に。
🔧 実践ロードマップ：最短ステップ解法
1. APを構築しタイトルを明示
– 「AP：min y₁（省エネ型第1段階）」と表頭に書くことで採点者・チームメンバーに意図を共有。
2. 基底列を枠で囲み、判定項を列下に配置
– 判定項\bar{c}_jの行直下に“判定”行を作り、負値列頭に▼を付ける。
3. Pivot列選択
– 最小化なら最も負の\bar{c}_j列。複数ならBlandの規則(添字最小)で循環防止。
4. θ＝b_i/a_{ij}最小正比率テストでPivot行決定
– a_{ij}>0行のみ対象。同率は添字最小。
5. 行基本変形を実施
– Pivotを1に、同列他行を0に。行操作はR₁←R₁−R₂形式で横メモ。
6. AP最適判定
– すべて\bar{c}_j≥0かつy₁基底外→「AP optimal⇒y₁=0⇒feasible」を二重線で宣言。
7. 人工変数列削除＋目的関数行置換
– 赤枠で“削除”と付箋。元c係数に入れ替え、判定項を再計算。
8. 第2段階シンプレックスを実行
– 手順3〜6を繰り返し、\bar{c}_j≥0で停止＝LP最適。
9. 最適解・最適値を単位付きで明示
– 例：(x₁,x₂,x₃,x₄)=(0,2,6,0)、最小値−2(費用単位:万円)。
🚀 効率化テクニックと応用例
– 表計算ソフトのテンプレート化：行操作をマクロ化し、講義中の手計算ミスをゼロに。
– ピボットマーキングのルール統一：▼(列)と←pivot(R_k)でロジックの追跡性向上。
– 複数LP一括処理：共通制約を持つLP群でAPを使い回し、初期基底生成コストを削減。
– 循環回避アルゴリズム実装：Bland規則をコードに組み込み、工業規模データでも安定計算。
– 教育現場での可視化：Pivot操作をアニメーション表示するツールで直感的に理解。
✨ まとめと次の一手
省エネ型2段階法は、人工変数を最小限に導入し“手数を抑えて確実に実行可能基底へジャンプ”する洗練されたアプローチです。判定項・比率テスト・目的関数行の置換という3大チェックポイントをルーティン化すれば、試験でも実務でもミスを激減できます。次は循環回避の理論的背景や双対シンプレックス法との比較に進み、より大規模なLPへ応用してみましょう。
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